Question

16．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线$y=-\frac{\sqrt{3\;}}{3}x$+m与x轴交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求直线AE的解析式；
（3）若点P（p，q）是线段AE段上一动点（不与A、E重合），设△APB的面积为S，求S关于p的函数关系式及定义域；
（4）若点P（p，q）是线段AE段上一动点（不与A、E重合），且△APB是直角三角形，求：点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）作AF⊥x轴于F，根据直角三角形性质，用待定系数求E点坐标即可；
（2）同（1）可得出结论；
（3）过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=q，GE=4-p，EF=4-1=3，再由△EPG∽△EAF即可得出Q的表达式，根据S_△ABP=S_△ABE-S_△EPB即可得出结论；
（4）分∠ABP=90°与∠APB=90°两种情况进行讨论．

解答 解：（1）如图1，作AF⊥x轴于F，
∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=$\sqrt{3}$，
∴点A（1，$\sqrt{3}$）
代入直线解析式，
得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×1+m=$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
当y=0时，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=0，解得x=4，
∴点E（4，0）；

（2）同（1）可知，
∵点A（1，$\sqrt{3}$）
∴代入直线解析式得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×1+m=$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；

（3）如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，
∵A（1，$\sqrt{3}$），E（4，0），P（p，q），
∴PG=q，GE=4-p，EF=4-1=3．
∵AF⊥x轴，PG⊥x轴，
∴△EPG∽△EAF，
∴$\frac{PG}{AF}$=$\frac{EG}{EF}$，即$\frac{q}{\sqrt{3}}$=$\frac{4-p}{4-1}$，
∴q=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，
∴S=S_△ABE-S_△EPB
=$\frac{1}{2}$BE•AF-$\frac{1}{2}$BE•PG
=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p）
=$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$p
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$p-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（1＜p＜4）；

（4）当∠APB=90°时，
设直线BP的解析式为y=$\sqrt{3}$x+b，
∵B（2，0），
∴2$\sqrt{3}$+b=0，解得b=-2$\sqrt{3}$，
∴直线BP的解析式为y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}\\ y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$，
∴P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
当∠APB=90°时，
设直线AB的解析式为y=kx+a（k≠0），
∵A（1，$\sqrt{3}$），B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}=k+a\\ 0=2k+a\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\sqrt{3}\\ a=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$．
设直线BP的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+c，
∴B（2，0），
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+c=0，解得c=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴直线BP的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}\\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$，
∴P₂（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
综上所述，P点坐标为P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或P₂（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意分类讨论，不要漏解，此题难度适中．