Question

4．已知：OC平分∠AOB，以O为端点作射线OD，OE平分∠AOD，
（1）如图，射线OD在∠AOB内部，∠BOD=80°，求∠COE；
（2）若射线OD绕点O旋转，∠BOD=α，（α为大于∠AOB的钝角），∠COE=β，其他条件不变，在这个过程中，探究α与β之间的数量关系是否发生变化，请补全图形并加以说明．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠AOC=∠BOC，∠BOC+∠COD=80°，∠AOE=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOD，即可得到结论；
（2）如图1，根据角平分线的定义得到∠AOC=∠BOC，∠AOE=∠DOE，得到α=2β，；如图2，根据角平分线的定义得到∠AOB=2∠AOC，∠AOD=2∠AOE，推出∠AOB+∠AOD=2β，根据周角的定义得到∠BOD+2β=360°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵OC平分∠AOB，以O为端点作射线OD，OE平分∠AOD，射线OD在∠AOB内部，∠BOD=80°，
∴∠AOC=∠BOC，∠BOC+∠COD=80°，∠AOE=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∴∠COE=$\frac{∠AOC-∠COD}{2}+∠COD$=$\frac{∠AOC+∠COD}{2}=\frac{80°}{2}=40°$
即∠COE是40°；

（2）α与β之间的数量关系是α=2β或$β+\frac{α}{2}=180°$，不会发生变化
如图1，∵OC平分∠AOB，以O为端点作射线OD，OE平分∠AOD
∴∠AOC=∠BOC，∠AOE=∠DOE，
∵∠BOD=2∠AOC+2∠AOE=2∠COE，
即α=2β，；
如图2，∵OC平分∠AOB，以O为端点作射线OD，OE平分∠AOD，
∴∠AOB=2∠AOC，∠AOD=2∠AOE，
∵∠COE=β，
∴∠AOB+∠AOD=2β，
∴∠BOD+2β=360°，
即α+2β=360°，
∴β+$\frac{α}{2}$=180°．

点评 本题考查了角的有关计算，角平分线定义的应用，主要考查学生能否熟练地运用角平分线定义进行计算．