Question

6．以△ABC的边AB、AC为边向外作等腰直角三角形EAB和等腰直角三角形DAC，∠EAB=∠DAC=90°，EC、BD交于点O．求证：OA平分∠EOD．

Answer 1

分析 由△ABD和△ACE都是等腰直角三角形得出AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAD=90°，再进一步得出∠EAC=∠BAD证得△ABD≌△AEC，过点A分别作AM⊥BD，AN⊥EC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可．

解答 解：∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AE=AC，
又∵∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
即：∠EAC=∠BAD，
在△ABD和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC（ SAS）
∴BD=EC，
如图，过点A分别作AM⊥BD，AN⊥EC，垂足为点M，N．
∵△ABD≌△AEC，
∴S_△ABD=S_△AEC，
∴$\frac{1}{2}$BD•AM=$\frac{1}{2}$CE•AN，
∴AM=AN，
∴点A在∠DOE的平分线上，
即OA平分∠EOD．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．