Question

11．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+\frac{5}{2}$与x轴交于点A和点B（A点在B点左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写A、B、C的坐标．
（2）矩形OADE的顶点D在直线BC上，将矩形OADE绕原点顺时针旋转90°后．
①判断D点的对应点D′是否在直线BC上，并证明你的结论；
②若M为直线BC上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标；
（2）根据待定系数法，可得BC的解析式，根据旋转的性质，可得D′点，根据点D′的坐标是否满足函数解析式，可得答案；
（3）根据平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得N点坐标．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+\frac{5}{2}$=0，
解得x₁=-1，x₂=5，即A（-1，0），B（5，0）；
当x=0时，y=$\frac{5}{2}$，即C（0，$\frac{5}{2}$）；
（2）①如图1：

设BC的解析式为y=kx+b，将B，C点代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
当x=-1时，y=3，即D（-1，3），
由旋转的性质，得
A′D′=AD=3，D′E′=DE=1，
即D′（3，1）．
当x=3时，y=-$\frac{1}{2}$×3+$\frac{5}{2}$=1，
点D′在直线BC上；
②如图2：
，
M为直线BC上一动点，抛物线上存在一点N，
设M（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），N（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$），
由ADNM是平行四边形，得
MN=AD=3．
即-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$-（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$）=3①或-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$-（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$）=-3②．
化简①，得m²-5m+6=0，
解得m₁=2，m₂=3，
当m₁=2时，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，即N₁（2，$\frac{9}{2}$），
当m₂=3时，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$=4，即N₂（3，4）；
化简②，得m²-5m-6=0，解得m₁=6，m₂=-1，
当m₁=6时，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$=-$\frac{7}{2}$，即N₃（6，-$\frac{7}{2}$），
当m₂=-1时，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$=0，即N₄（-1，0）（不符合题意的解要舍去）；
综上所述，以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，N点的坐标N₁（2，$\frac{9}{2}$），N₂（3，4），N₃（6，-$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系求图象与坐标轴的焦点坐标；利用旋转的性质得出D′点的坐标是解题关键；利用对边平行且相等的四边形是平行四边形得出关于m的方程是解题关键．