Question

15．在平面直角系中，已知A（-2，0），B（0，4），C（3，6）；
（1）当D（6，0）时，求四边形ABCD的面积；
（2）在x轴上找一点P，使△PBC的周长最小，并求出此时△PBC的周长．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥x轴于点E，则CE=6，四边形BCEO是直角梯形，根据S_{四边形ABCD}=S_△OAB+S_{四边形BCEO}+S_△CDE即可求解；
（2）求得BC的长，作出C关于x轴的对称点C′的坐标，则BC′与BC的和就是△PBC的周长．

解答 解：（1）作CE⊥x轴于点E，则CE=6，四边形BCEO是直角梯形．
则S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×2×4=4；
S_{四边形BCEO}=$\frac{1}{2}$（OB+CE）•OE=$\frac{1}{2}$×（4+6）×3=15；
S_△CDE=$\frac{1}{2}$ED•CE=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
则S_{四边形ABCD}=4+15+9=28；
（2）BC=$\sqrt{{3}^{2}+（6-4）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
C关于x轴的对称点C′的坐标是（3，-6），
则BC′=$\sqrt{{3}^{2}+（6+4）^{2}}$=$\sqrt{109}$，
则△PBC的周长是：$\sqrt{13}$+$\sqrt{109}$．

点评 本题考查了三角形三边和最短线路问题，基本思路是根据对称性转化为两点之间线段最短问题．