Question

9．如图，正方形ABCD中，点E为AB上一动点（不与A、B重合）．将△EBC沿CE翻折至△EFC，延长EF交边AD于点G．
（1）连结AF，若 AF∥CE．证明：点E为AB的中点；
（2）证明：GF=GD；
（3）若AD=10，设EB=x，GD=y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性质可知，∠BEC=∠FEC，EB=EF，由∵AF∥CE可证得∠EAF=∠EFA，从而得到EA=EF，故此可知EA=EB，即点E为AB的中点；
（2）如图所示，连接CG，由DC=FC，∠GFC=∠D，FC=DC，从而可得到Rt△GFC≌Rt△GDC，故此GF=GD；
（3）AG=10-x，AE=10-y，GE=x+y，在Rt△AEG中由勾股定理可知：AG²+AE²=GE²，从而可得到y=$\frac{100-10x}{10+x}$．

解答 解：（1）由翻折的性质可知，∠BEC=∠FEC，EB=EF
∵AF∥CE，
∴∠BEC=∠EAF，∠FEC=∠EFA．
∴∠EAF=∠EFA．
∴EA=EF．
∴EA=EB，即点E为AB的中点．
（2）如图所示，连接CG．

在正方形ABCD中，∠D=∠B=90°，DC=BC，
由翻折的性质可知：∠EFC=∠B=90°，BC=FC，
∴∠GFC=∠D，FC=DC 
在Rt△GDC和Rt△GEC中，$\left\{\begin{array}{l}{FC=DC}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴Rt△GFC≌Rt△GDC（HL）．
∴GF=GD．
（3）在Rt△AEG中，AG=10-x，AE=10-y，GE=x+y，
由勾股定理可知：AG²+AE²=GE²，即：（10-x）²+（10-y）²=（x+y）²，
∴y=$\frac{100-10x}{10+x}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、正方形的性质、勾股定理、平行线的性质的综合应用，利用翻折的性质和正方形的性质找出相等的边和角是解题的关键．