Question

18．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F分别是斜边AB上的两点，且∠FCE=45°．
（1）现将CF绕点C顺时针旋转90°到CD，连结AD．求证：AD=BF．
（2）若EF=10，BF=8．求AE的长及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）证明△BCF≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）首先证明△ECF≌△ECD，则ED=EF，然后在直角△ADE中利用勾股定理求得AE的长，则AB的长即可求得，然后利用三角函数求得AC和BC的长，利用三角形的面积公式求解．

解答 （1）证明：在△BCF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACD}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACD，
∴AD=BF，∠CAD=∠CBA=45°．
（2）解：∵在△ECF和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EC}\\{∠ECF=∠ECD}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△ECD，
∴ED=EF，
则在Rt△DAE中，由勾股定理可得：AE=$\sqrt{D{E}^{2}-A{D}^{2}}$=6，
∴AB=24，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=BC=12$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC²=288．

点评 本题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是本题的关键．