Question

4．如图，AB为⊙O的直径，以点B为圆心，OB为半径作弧交⊙O与点C，D，求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$=$\widehat{COD}$．

Answer 1

分析 连接AC、AD、BC、BD、CD、OC、OD，根据OB=OC=BC=BD=OD，证得△BOC和△BOD是等边三角形，四边形BCOD是菱形，从而证得∠COB=120°，AB垂直平分CD，进而证得△ACD是等边三角形，得出AC=AD=CD，根据圆心角、弧、弦的关系即可证得结论．

解答 证明：连接AC、AD、BC、BD、CD、OC、OD，
∵OB=OC=BC=BD=OD，
∴△BOC和△BOD是等边三角形，四边形BCOD是菱形，
∴∠COB=120°，AB垂直平分CD，
∴∠CAD=60°，AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$=$\widehat{COD}$．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．