Question

【题目】先化简,再求值：

阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+，其中ｎ是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…＝？

观察下面三个特殊的等式

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝

读完这段材料，请你思考后回答：（只需写出结果，不必写中间的过程）

（1）　　　　　

（2）1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n+1)= 　　　　　

（3）　　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）343400；（2）n（n+1）（n+2）；（3）n（n+1）（n+2）（n+3）．

【解析】

（1）根据三个特殊等式相加的结果，代入熟记进行计算即可求解；

（2）先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解；

（3）根据（2）的求解规律，利用特殊等式的计算方法，先把每一个算式分解成两个算式的运算形式，整理即可得解．

因为1×2+2×3+3×43×4×5=20，即1×2+2×3+3×43×（3+1）×（3+2）=20，故：

（1）原式100×（100+1）×（100+2）100×101×102=343400；

（2）原式n（n+1）（n+2）；

（3）∵1×2×3=[1×2×3×4﹣0×1×2×3]，2×3×4=[2×3×4×5﹣1×2×3×4]，...，n（n+1）（n+2）= [n（n+1）（n+2）（n+3）﹣n（n﹣1）（n+1）（n+2）]

∴原式=[1×2×3×4﹣0×1×2×3]+ [2×3×4×5﹣1×2×3×4]+...+ [n（n+1）（n+2）（n+3）﹣n（n﹣1）（n+1）（n+2）]=n（n+1）（n+2）（n+3）．

故答案为：343400；n（n+1）（n+2）；n（n+1）（n+2）（n+3）．