Question

8．观察下列等式：
①$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{4}$=2；②$\frac{25}{4}-\frac{9}{4}$=4；③$\frac{49}{4}$-$\frac{25}{4}$=6；…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：$\frac{81}{4}$-$\frac{49}{4}$=8‘
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．

Answer 1

分析 （1）由①②③不难看出各式分母不变，分子是连续奇数的平方，根据规律写出第四个等式即可；
（2）根据（1）由特殊到一般的思想可写出一般式，化简后左边等于右边即可证明．

解答 解：（1）由①②③不难看出各式分母不变，分子是连续奇数的平方，
所以第四个等式是：$\frac{81}{4}$-$\frac{49}{4}$=8；
故答案为：$\frac{81}{4}$，$\frac{49}{4}$，8；
（2）第n个等式（用含n的式子表示）是：$\frac{（2n+1）^{2}}{4}$-$\frac{（2n-1）^{2}}{4}$=2n；
证明：左边=$\frac{4{n}^{2}+4n+1-（4{n}^{2}-4n+1）}{4}$=$\frac{8n}{4}$=2n=右边．
所以此式正确．

点评 本题主要考查了数字变化规律问题，解决此类问题的关键是运用由特殊到一般的思想，找到一般规律，要善于前后联系，挖掘规律．