Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．

（1）求证：AE⊥BD；

（2）若AD＝2，CD＝3，试求四边形ABCD的对角线BD的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】

（1）由旋转的性质可得AC=BC，∠DBC=∠CAE，即可得∠ACB=90°，根据直角三角形的性质可得AE⊥BD，
（2）由旋转的性质可得CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°，由勾股定理可求BD的长．

（1）如图，设AC与BD的交点为点M，BD与AE的交点为点N，

∵旋转
∴AC=BC，∠DBC=∠CAE
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵∠DBC+∠BMC=90°
∴∠AMN+∠CAE=90°
∴∠AND=90°
∴AE⊥BD，
（2）如图，连接DE，

∵旋转
∴CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°
∴DE==3，∠CDE=45°
∵∠ADC=45°
∴∠ADE=90°
∴EA==
∴BD=.