Question

（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（b²-4ac≥0）的根分别为x₁，x₂，求证：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
（2）已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，-9），它与x轴有两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=20，求a、b、c的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根与系数的关系

专题：

分析：（1）由一元二次方程ax²+bx+c=0（b²-4ac≥0）的根分别为x₁，x₂，可得（x-x₁）（x-x₂）=0，化简得x²-（x₁+x₂）x+x₁•x₂=0，由ax²+bx+c=0两边同时除以a，得x²+

b

a

x+

c

a

=0，两式对照即可得出x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
（2）由抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，-9），可用顶点式表示，再化简为yax²-2ax+a-9，利用韦达定理得x₁+x₂=2，x₁•x₂=

a-9

a

；由x₁²+x₂²=20，可得a=1，再利用顶点坐标即可求出b，c的值．

解答：解：（1）∵一元二次方程ax²+bx+c=0（b²-4ac≥0）的根分别为x₁，x₂，
∴（x-x₁）（x-x₂）=0，
∴x²-（x₁+x₂）x+x₁•x₂=0，①
∵ax²+bx+c=0两边同时除以a，得x²+

b

a

x+

c

a

=0②
比较①②可得，x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
（2）∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，-9），
∴y=a（x-1）²-9=ax²-2ax+a-9，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=

a-9

a

；
∵x₁²+x₂²=20，
∴4-2×

a-9

a

=20，解得a=1，
∵-

b

2a

=1，
∴b=-2，
∵

4ac-b2

4a

=-9，
∴c=-8．

点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系及二次函数的顶点式．