Question

 如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．

（1）直接写出直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x+4（2）D（2，6）（3）点P的坐标为（，0）或（，0）

（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，

（3）存在。

由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4），

①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，过C点作CH⊥EF，

②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），

此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形。

则PE=MC=2，

将E（x，2）代入抛物线y=x（x﹣4）中，

得2=x（x﹣4），解得x=或。

∴P（，0）。

综上所述，点P的坐标为（，0）或（，0）。