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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CDAB于点E,点G在直径DF的延长线上,∠D=G=30°.

(1)求证:CG是⊙O的切线 (2)若CD=6,求GF的长

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

试题(1)连接OC,根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°-∠D-∠G=120°,再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG,进而得到CG是⊙O的切线;
(2)设EO=x,则CO=2x,再利用勾股定理计算出EO的长,进而得到CO的长,然后再计算出FG的长即可.

试题解析:(1)证明:连接OC.


∵OC=OD,∠D=30°,
∴∠OCD=∠D=30°.
∵∠G=30°,
∴∠DCG=180°-∠D-∠G=120°.
∴∠GCO=∠DCG-∠OCD=90°.
∴OC⊥CG.
又∵OC是⊙O的半径.
∴CG是⊙O的切线.
(2)解:∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE=CD=3.
∵在Rt△OCE中,∠CEO=90°,∠OCE=30°,
∴EO=CO,CO2=EO2+CE2
EO=x,则CO=2x.
∴(2x)2=x2+32
解得x=±(舍负值).
∴CO=2
∴FO=2
在△OCG中,∵∠OCG=90°,∠G=30°,
∴GO=2CO=4
∴GF=GO-FO=2

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