【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点G在直径DF的延长线上,∠D=∠G=30°.
(1)求证:CG是⊙O的切线 (2)若CD=6,求GF的长
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题(1)连接OC,根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°-∠D-∠G=120°,再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG,进而得到CG是⊙O的切线;
(2)设EO=x,则CO=2x,再利用勾股定理计算出EO的长,进而得到CO的长,然后再计算出FG的长即可.
试题解析:(1)证明:连接OC.
∵OC=OD,∠D=30°,
∴∠OCD=∠D=30°.
∵∠G=30°,
∴∠DCG=180°-∠D-∠G=120°.
∴∠GCO=∠DCG-∠OCD=90°.
∴OC⊥CG.
又∵OC是⊙O的半径.
∴CG是⊙O的切线.
(2)解:∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE=CD=3.
∵在Rt△OCE中,∠CEO=90°,∠OCE=30°,
∴EO=CO,CO2=EO2+CE2.
设EO=x,则CO=2x.
∴(2x)2=x2+32.
解得x=±(舍负值).
∴CO=2.
∴FO=2.
在△OCG中,∵∠OCG=90°,∠G=30°,
∴GO=2CO=4.
∴GF=GO-FO=2.
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【题目】如图,要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明( )
A.AB=AD且AC⊥BDB.AB=AD且AC=BDC.∠A=∠B且AC=BDD.AC和BD互相垂直平分
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【题目】如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点.抛物线l的解析式为(n为整数).若l经过这九个格点中的三个,则满足这样条件的抛物线条数为_________条
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【题目】如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,AB⊥y轴于点B,点C在x轴正半轴上,且OC=2AB,点E在线段AC上,且AE=3EC,点D为OB的中点,若△ADE的面积为6,则k的值为_____.
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【题目】如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3)、B(﹣6,0)、C(﹣1,0).
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的三角形△A′B′C′;
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出图形,直接写出点B的对应点B″的坐标;
(3)请直接写出:以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于(1,1)和(3,3)两点,现有以下结论:①b2﹣4c>0;②3b+c+6=0;③当x2+bx+c>时,x>2;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0,其中正确的序号是( )
A. ①②④B. ②③④C. ②④D. ③④
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【题目】在平面直角坐标系xoy中, 一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边 AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(-1,0).
(1)请直接写出点B、C的坐标:B( , )、C( , );并求经过A、B、C三点的抛物
线解析式;
(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段
AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C. 此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M.
①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;
②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形,若存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】今年某市为创评“全国文明城市”称号,周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定2名女生去参加.
抽签规则:将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面,把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,梁老师先从中随机抽取一张卡片,记下姓名,再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张,记下姓名.
(1)该班男生“小刚被抽中”是 事件,“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”);第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ;
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出“小惠被抽中”的概率.
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