Question

【题目】等边△ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是边 AD 上的动点，E 是边 AC 上的点， 当 AE=2，且 EF+CF 取得最小值时.

（Ⅰ）能否求出∠ECF 的度数？_____（用“能”或“否”填空）；

（Ⅱ）如果能，请你在图中作出点 F（保留作图痕迹，不写证明）.并直接写出∠ECF 的度 数；如果不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）能；（Ⅱ）30°．

【解析】

（Ⅰ）过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可得结论.

（Ⅰ）能；

（Ⅱ）过E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC=4，AE=2，

∴EC=2=AE，

∴AM=BM=2，

∴AM=AE，

∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，

∴AD⊥BC，

∵EM∥BC，

∴AD⊥EM，

∵AM=AE，

∴E和M关于AD对称，

连接CM交AD于F，连接EF，

则此时，EF+CF的值最小，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∵AM=BM，

∴∠ECF=∠ACB=30°，

故答案为30°．