Question

【题目】抛物线与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，且A，B两点的坐标分别为(-2，0)，(8，0)，与y轴交于点C(0，-4)，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q，交BD于点M.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形?

(3)位于第四象限内的抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积最大?若存在，求出N点的坐标，及△BCN面积的最大值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 抛物线解析式为y=x2-x-4；(2) 当m=4时，四边形CQMD是平行四边形； (3) S△BCN= 8.

【解析】

（1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQMD的形状；
（3）先判断出点N在平行于BC且与抛物线只有一个交点时的位置，确定出点N的坐标，用面积和差求出三角形BCN的面积．

(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

根据题意得，

∴抛物线解析式为y=x2-x-4.

(2)∵C(0，-4)，

∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为(0，4).

设直线BD的解析式为y=kx+b'，则解得k=-，b'=4.

∴直线BD的解析式为y=-x+4.

∵l⊥x轴，

∴点M的坐标为，点Q的坐标为.

如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，

∴=4-(-4).化简得m2-4m=0，解得m1=0(不合题意舍去)，m2=4.

∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形.

(3)存在，理由:

当过点N平行于直线BC的直线与抛物线只有一个交点时，△BCN的面积最大.

∵B(8，0)，C(0，-4)，

∴BC=4.直线BC解析式为y=x-4，设过点N平行于直线BC的直线L解析是为y=x+n①，

∵抛物线解析式为y=x2-x-4②，联立①②得，x2-8x-4(n+4)=0，③

∴Δ=64+16(n+4)=0，

∴n=-8，

∴直线L解析式为y=x-8，将n=-8代入③中得，x2-8x+16=0

∴x=4，

∴y=-6，

∴N(4，-6)，

如图，过点N作NG⊥AB，

∴S△BCN=S四边形OCNG+S△MNG-S△OBC=(4+6)×4+(8-4)×6-×8×6=8.