Question

14．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数都为$\frac{1}{n}$，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为$\frac{1}{168}$．

Answer 1

分析 观察图中三角形的数阵，将其改写成等阶形式，发现分母的规律，第n行第k项的通项是$\frac{1}{{kC}_{n}^{k}}$，由此得出第8行第3个数．

解答 解：图中三角形的数阵，将其改写成等阶形式：
 $\frac{1}{{C}_{1}^{1}}$，
$\frac{1}{{C}_{2}^{1}}$，$\frac{1}{{2C}_{2}^{2}}$，
$\frac{1}{{C}_{3}^{1}}$，$\frac{1}{{2C}_{3}^{2}}$，$\frac{1}{{3C}_{3}^{3}}$，
$\frac{1}{{C}_{4}^{1}}$，$\frac{1}{{2C}_{4}^{2}}$，$\frac{1}{{3C}_{4}^{3}}$，$\frac{1}{{4C}_{4}^{4}}$，
…
因此，第n行第k项的通项是$\frac{1}{{kC}_{n}^{k}}$，故第8行第3个数是$\frac{1}{{3C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{3×\frac{8×7×6}{3×2×1}}$=$\frac{1}{168}$，
故答案为：$\frac{1}{168}$．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，根据已知归纳规律，运用规律是解答此题的关键．