Question

6．（1）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（1，-6），求这个函数的表达式；
（2）如图，BC为⊙O的直径，AG⊥BC，垂足为D，点A是弧BF的中点，BF和AD交于E．求证：AE=BE．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+1）²+2，然后把（1，-6）代入求出a的值即可；
（2）根据垂径定理得$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，而$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$，则$\widehat{BG}$=$\widehat{AF}$，所以根据圆周角定理得∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论．

解答 （1）解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）²+2，
把（1，-6）代入得4a+2=-6，解得a=-2，
所以抛物线的解析式为y=-2（x+1）²+2；
（2）证明：如图，
∵AG⊥BC，BC为⊙O的直径，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∵点A是弧BF的中点，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{BG}$=$\widehat{AF}$，
∴∠1=∠2，
∴AE=BE．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了圆周角定理．