Question

观察下列各式及其验证过程：
2

2 3

=

2+ 2 3

，
验证：2

2 3

=

23 3

=

2+ 2 3

；
3

3 8

=

3+ 3 8

，
验证：3

3 8

=

33 8

=

3+ 3 8

；
（1）按照上述两个等式及验证过程，猜想4

4 15

的变形结果并加以验证．
（2）根据上述的规律，写出用n（n为正整数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．

Answer 1

考点：二次根式的性质与化简

专题：阅读型

分析：（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a=

a2

（a≥0），把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1．

解答：解：（1）4

4 15

=

4+ 4 15

．
理由：4

4 15

=

42×4 15

=

43-4+4 42-1

=

4(42-1)+4 42-1

=

4+ 4 15

；

（2）n

n n2-1

=

n+ n n2-1

．
证明：n

n n2-1

=

n2×n n2-1

=

n3-n+n n2-1

=

n(n2-1)+n n2-1

=

n+ n n2-1

=右边．

点评：本题考查的是二次根式的性质与化简，根据题意找出规律是解答此题的关键．