Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的一个动点(不与点A，B重合)，连接AD，过点O作AD的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E．连接BE，DE．

(1)求证：∠BED＝∠C．

(2)连接BD，OD，CD．

填空：

①当∠ACO的度数为　 　时，四边形OBDE为菱形；

②当∠ACO的度数为　 　时，四边形AODC为正方形．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①30°；②45°．

【解析】

（1）利用同角的余角相等证明∠BED＝∠C；

（2）①当∠ACO＝30°时，四边形OBDE是菱形，利用邻边相等的平行四边形为菱形进行证明；

②当∠ACO＝45°时，四边形AODC是正方形，利用利用邻边相等的矩形为正方形进行证明．

(1)r如图，设AD，OC交于点P，

∵OC⊥AD，

∴∠APC＝90°．

∴∠C+∠CAP＝180°﹣∠APC＝90°

∵AC是半圆O的切线，

∴∠CAO＝∠CAP+∠BAD＝90°．

∴∠BAD＝∠C，

∵∠BED＝∠BAD，

∴∠BED＝∠C；

(2)①当∠ACO＝30°时，四边形OBDE是菱形，理由如下

连接BD，如图

∵AB是半圆O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DAB＝∠ACO＝30°，

∴∠DBA＝60°，

∵OE⊥AD，

∴=

∴∠DBE＝∠ABE＝30°

∵∠DEB＝∠DAB＝30°，

∴∠DEB＝∠ABE，

DE∥AB

∵∠ADB＝90°，即BD⊥AD，

OE⊥AD，

∴OE∥BD，

故四边形OBDE 是平行四边形

∵OB＝OE

∴四边形OBDE 是菱形；

故答案为30°；

②当∠ACO＝45°时，四边形AODC是正方形．理由如下

连接CD、OD，

∵∠BED＝∠ACO＝45°，

∴∠BOD＝2∠BED＝90°，

∴∠AOD＝90°，

∵OC⊥AD，

∴OC垂直平分AD

∴∠OCD＝∠OCA＝45°，

∴∠ACD＝90°，

∵∠ACO＝90°，

∴四边形AODC是矩形

∵OA＝OD，

∴四边形AODC是正方形，

故答案为45°．