Question

已知，如图在矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G， H 分别在矩形ABCD的边AB ，CD ，AD 上，AH=2 ，连接CF.
（1）当四边形EFGH为正方形时,求DG的长；
（2）当△FCG的面积为1时,求DG的长；
（3）当△FCG的面积最小时,求DG的长.

.

Answer 1

（1）证得△AHE≌△DGH  ∴DG=AH=2…………5分
（2）作FM⊥DC,M为垂足,连接GE,
∵AB‖CD,

∴∠AEG=∠MGE
∵HE‖GF,

∴∠HEG=∠FGE,
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中,

∠A=∠M=90°,HE=FG,

∴△AHE≌△MFG．
∴FM=HA=2,即无论菱形EFGH如何变化,

点F到直线CD的距离始终为定值2．
因此 ,解得GC=1,DG=6．…………10分
（3）设DG=x,则由第（2）小题得,S_△FCG=7-x,

又在△AHE中,AE≤AB=7,
∴≤53,∴≤53,x≤,
∴S_△FCG的最小值为 7-,此时DG=  ．………15分