Question

【题目】阅读下列材料

在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元 法”.下面是小涵同学用换元法对多项式(x+4x+1)(x+4x+7)+9 进行因式分解的过程.

解:设 x+4x=y

原式=(y+1)(y+7)+9 (第一步)

=y+8y+16 (第二步)

=(y+4) (第三步)

=(x+4x+4) (第四步）

请根据上述材料回答下列问题:

(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 .

A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法

(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果: .

(3)请你用换元法对多项式(x－2x)(x－2x+2)+1 进行因式分解

(4)当 x= 时,多项式(x－2x)(x－2x+2)－1 存在最 值(填“大”或“小”).请你求出这 个最值

Answer 1

【答案】（1）C；（2）（x-2）4；（3）见解析；（4）1；小，-2.

【解析】

（1）根据完全平方公式进行分解因式；

（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；

（3）根据材料，用换元法进行分解因式；

（4）把原式变形为，由即可得解.

（1）由第二步到第三步是运用了完全平方公式法，

故选：C；

（2）（x2-4x+1）（x2-4x+7）+9，

设x2-4x=y，

原式=（y+1）（y+7）+9，

=y2+8y+16，

=（y+4）2，

=（x2-4x+4）2，

=（x-2）4；

故答案为：（x-2）4；

（3）设x2-2x=y，

原式=y（y+2）+1，

=y2+2y+1，

=（y+1）2，

=（x2-2x+1）2，

=（x-1）4．

（4）设x2-2x=y，

原式=y（y+2）-1，

=y2+2y-1，

=（y+1）2-2，

= (x－2x+1) －2

= (x－1)4－2

∵(x－1)4≥0，

∴当x=1时，多项式(x－2x)(x－2x+2)－1 存在最小值，为：-2.