【题目】如图,正方形的面积为,点是边上一点,,将线段绕点旋转,使点落在直线上,落点记为,则________,的长为________.
【答案】
【解析】
当点F在线段BC上时,由旋转的性质可得△ADE≌△ABF,可得到BF=DE,∠DAE=∠BAF=30°,可求得答案;当点F在线段CB的延长线上时,可证得△ABF≌△ADE,则可求得∠EAF=90°,此时FC=BF+BC,可求得答案.
∵四边形ABCD为正方形,且面积为3
∴∠D=∠B=∠BAD=90°,AD=AB=BC=CD=,且AE=AF,
①当F在线段BC上时,如图1,
在Rt△ADE和Rt△ABF中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△ABF(HL),
∴∠DAE=∠BAF,BF=DE=1,
又∵在Rt△ADE中,DE=1,AD=,
∴tan∠DAE=,
∴∠BAF=∠DAE=30°,
∴∠EAF=90°-30°-30°=30°,FC=BC-BF=-1;
②当点F在线段CB的延长线上时,如图2,
则可证得△ABF≌△ADE,
∴∠EAB=∠DAE,
∴∠EAF=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠DAE=90°,FC=FB+BC=+1;
故答案为:30°或90°;-1或+1.
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【题目】阅读材料:若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,求m,n的值.
解:∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0.
∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∵(m﹣n)2≥0,(n﹣4)2≥0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知:x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+y的值;
(2)已知:△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足:a2+b2﹣12a﹣16b+100=0,求△ABC的最大边c的值;
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,1),(-1,0).一个电动玩具从坐标原点0出发,第一次跳跃到点P1.使得点P1与点O关于点A成中心对称;第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B成中心对称;第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C成中心对称;第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A成中心对称;第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B成中心对称;…照此规律重复下去,则点P2016的坐标为_____________.
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【题目】阅读下列材料
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元 法”.下面是小涵同学用换元法对多项式(x+4x+1)(x+4x+7)+9 进行因式分解的过程.
解:设 x+4x=y
原式=(y+1)(y+7)+9 (第一步)
=y+8y+16 (第二步)
=(y+4) (第三步)
=(x+4x+4) (第四步)
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 .
A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果: .
(3)请你用换元法对多项式(x-2x)(x-2x+2)+1 进行因式分解
(4)当 x= 时,多项式(x-2x)(x-2x+2)-1 存在最 值(填“大”或“小”).请你求出这 个最值
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,E为AB中点,D为AC上一点,BF//AC交DE的延长线长于点F,AC=6,BC=5.则四边形FBCD周长的最小值是( )
A.21B.16C.17D.15
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P、Q分别从点A、B同时开始移动,点P的速度为1 cm/秒,点Q的速度为2 cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm 的是( )
A. 2秒钟 B. 3秒钟 C. 4秒钟 D. 5秒钟
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【题目】如图,△ABC中,AB=5cm,BC=3cm,AC=4cm,若动点P从点C开始,按照C→A→B的路径运动,且运动速度为每秒2cm,设出发的时间为t秒.
(1)请判断△ABC的形状,说明理由
(2)当t为何值时,△BCP是以BC为腰的等腰三角形,求出t的值
(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒1cm,若P、Q两点同时出发, 当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动,当t为何值时,P、Q两点之间的距离为,直接写出t的值.
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【题目】先阅读下列一段文字,再回答后面的问题.
已知在平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),这两点间的距离P1P2=,同时,当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|.
(1)已知A(3,3),B(﹣2,﹣1),试求A,B两点间的距离;
(2)已知A,B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为7,点B的纵坐标为﹣2,试求A,B两点间的距离;
(3)已知一个三角形各顶点坐标为A(0,5),B(﹣3,2),C(3,2),你能判断此三角形的形状吗?说明理由.
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【题目】如图,已知二次函数的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点。
(1)求二次函数的解析式;
(2)设二次函数的图象与轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线,并写出当在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值。
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