Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当a＝时，△BDC的面积最大，此时P点坐标为：（，）；

【解析】

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求出点B的坐标，即可得出直线BC的解析式，设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），即可得PD＝﹣a2+3a，再根据三角形的面积公式即可得出S△BDC，从而可得当a＝时，△BDC的面积最大，得出此时P点坐标．

（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，3）

∴-1-b+c=0，c=3，

解得：b=2，c=3，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）在y＝﹣x2+2x+3中，

当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，

即B（3，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+m，

∴3k+m=0，m=3，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），

∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）

＝﹣a2+3a，

∴S△BDC＝PD·OB

＝PD

＝﹣（a﹣）2+，

∵﹣<0，

∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P点坐标为：（，）；