Question

【题目】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”

（1）请说明28是否为“神秘数”；

（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．

①小能发现：两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．

②小仁发现：2016是“神秘数”．

提示：（2）中两个发现，只需解答其中一个，若两个都做，按“小能发现”的解答计分．

Answer 1

【答案】（1）是，证明见解析；（2）①由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. 证明见解析；②2016是“神秘数”是假命题,证明见解析.

【解析】

对于（1）结合神秘数的定义，看是否可以将28写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案；

(2) 对于①，两个连续偶数构造的神秘数为(2k+2)2-(2k)2，化简看是否是4的倍数；

对于②，结合神秘数的定义，看是否可以将2016写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案；

（1）28是“神秘数”,理由如下：

∵28=82-62

∴28是“神秘数”

（2）当选择①时，(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，

∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍.

②当选择②时，2016是“神秘数”是假命题,

理由:

=

=8k+4,

令8k+4=2016，得k=251.5,

∵k为须整数,

∴k=251.5不符合实际，舍去,

∴201 6是“神秘数"错误.