Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则S△ABC＝9S△BDF，其中正确的结论序号是______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由△AFG∽△CFB，可确定结论①正确；由△ABG≌△BCD可得AG=AB=BC，进而由△AFG∽△CFB确定点F为AC的三等分点，可确定结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到∠CFD=∠ABC=90°，得到CD为圆的直径，因为BG⊥CD，根据垂径定理得到DF=DB，故③正确；因为D为AB的三等分点，△AFG∽△CFB，所以所以S△ABF=S△ABC，又S△BDF=S△ABF，所以S△ABC=12S△BDF，由此确定结论④错误．

解：依题意可得BC∥AG，

∴△AFG∽△CFB，

∴，

又AB=BC，

∴．故结论①正确；

如图，

∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠3=∠4．

在△ABG与△BCD中，

，

∴△ABG≌△BCD（ASA），

∴AG=BD，

又∵BD=AD，

∴AG=AD；

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=AB；

∴AG=AD=AB=BC；

∵△AFG∽△BFC，

∴，

∴FC=2AF，

∴AF=AC=AB．故结论②正确；

当B、C、F、D四点在同一个圆上时，

由圆内接四边形的性质可得∠CFD=∠ABC=90°

∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，

∵BG⊥CD，

∴，

∴DF=DB，故③正确；

∵，AG=BD，，

∴，

∴S△BDF=S△ABF，，

∴AF=AC，

∴S△ABF=S△ABC；

∴S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF．故结论④错误．

∴正确的结论有①②③；

故答案为：①②③.