Question

【题目】如图，已知边长为2的正方形ABCD，边BC上有一点E，将△DCE沿DE折叠至△DFE，若DF，DE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

连接BD交于点O，设ED与⊙O相切于点N，连接ON，由O为正方形的中心，得到∠ADO＝∠CDO，又DF与DE为圆O的切线，根据切线长定理得到DO平分∠EDF，可得出∠ADF＝∠CDE，由折叠可得∠CDE＝∠FDE，再由正方形的内角为直角，可得出∠EDC为30°，在DN上取点M，使OM＝DM，则∠OMN＝30°，在直角三角形DON中，可求出NO的长．

解：连接BD交于点O，设ED与⊙O相切于点N，连接ON，

∵O为正方形ABCD的中心，

∴∠ADO＝∠CDO，

又∵DF与DE都为圆O的切线，

∴DO平分∠EDF，即∠ODF＝∠ODE，

∴∠ADO﹣∠FDO＝∠CDO﹣∠ODE，即∠ADF＝∠CDE，

又∵△DCE沿着DE折叠至△DFE，

∴∠CDE＝∠EDF，

∴∠CDE＝∠EDF＝∠ADF＝∠ADC＝30°，

∴∠ODN＝15°，

∵BC＝CD＝2，

∴DO＝BD＝，

在DN上取点M，使OM＝DM，则∠OMN＝30°，

设ON＝x，则OM＝DM＝2x，MN＝x，

在Rt△DON中，ON2+DN2＝OD2，

∴，

∴．

∴．

故答案为：．