Question

【题目】如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）求证：CG＝BG；

（3）若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝8

【解析】

（1）连接OC，先证得，根据垂径定理得到OC⊥BD，根据CE∥BD推出OC⊥CE，即可得到结论；

（2）根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，然后根据同角的余角相等得出∠A＝∠BCF，即可证得∠BCF＝∠CBD，根据等角对等边即可证得结论；

（3）连接AD，根据圆周角定理得出∠ADB＝90°，即可求得∠BAD＝60°，根据圆周角定理得出∠DAC＝∠BAC＝30°，然后根据三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE的值．

（1）证明：连接OC，

∵∠A＝∠CBD，

∴，

∴OC⊥BD，

∵CE∥BD，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CF⊥AB，

∴∠ACB＝∠CFB＝90°，

∵∠ABC＝∠CBF，

∴∠A＝∠BCF，

∵∠A＝∠CBD，

∴∠BCF＝∠CBD，

∴CG＝BG；

（3）解：连接AD，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DBA＝30°，

∴∠BAD＝60°，

∵，

∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，

∴，

∵CE∥BD，

∴∠E＝∠DBA＝30°，

∴AC＝CE，

∴，

∵∠A＝∠BCF＝∠CBD＝∠E＝30°，

∴∠BCE＝30°，

∴BE＝BC，

∴△CGB∽△CBE，

∴，

∵CG＝8，

∴BC＝8，

∴BE＝8．