Question

【题目】平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C，直线y＝kx+2经过A、C两点．

（1）如图1，求a、c的值；

（2）如图2，点P为抛物线y＝ax2+x+c在第一象限的图象上一点，连接AP、CP，设点P的橫坐标为t，△ACP的面积为S，求S与t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，点D为线段AC上一点，直线OD与直线BC交于点E，点F是直线OD上一点，连接BP、BF、PF、PD，BF＝BP，∠FBP＝90°，若OE＝，求直线PD的解析式．

Answer 1

【答案】（1）a=、c=2；（2）S＝t2+t（0＜t＜4）；（3）直线PD的解析式为y＝x+．

【解析】

（1）令y＝kx+2中x=0，可得出点C的坐标，再将B，C的坐标代入y＝ax2+x+c，可求出a，c的值；

（2）过点P作x轴的垂线，垂足为点M，且与直线AC交于点K，过点C作PK的垂线，垂足为点N，先求出点A的坐标，从而可得出直线y＝kx+2的解析式，由P点的横坐标为t，可得P（t，﹣t2+t+2），K（t，2t+2），得出PK＝t2+t，最后根据S＝S△AMK﹣S△AMP﹣S△CPK可得出函数解析式；

（3）过点O作OH⊥BC于点H，结合面积法和勾股定理可先求出OH，BH的长，进一步可得出EH，BE，CE的长；过点E作EG⊥y轴于点G，先得出tan∠CEG＝tan∠OBE＝，可求出CG，EG的长，从而可求出点E的坐标，利用待定系数法可求出直线OE的解析式，再与直线AC的解析式联立可求出点D坐标；过点B作x轴的垂线，与过点P、F作的y轴的垂线分别交于Q、T两点，先证明△PQB≌△BTF，从而有BT＝PQ＝4﹣t，FT＝BQ＝﹣t2+t+2，F（t2﹣t+2，t﹣4），设TF交y轴于点I，根据tan∠OEG＝2＝tan∠OFI可得出关于t的方程，解出t可得出点P的坐标，最后根据待定系数法可求出直线PD的解析式．

解：（1）∵直线y＝kx+2经过C点，

∴C（0，2），

把点B的坐标为（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，

得到，解得；

（2）如图1，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，且与直线AC交于点K，过点C作PK的垂线，垂足为点N，

∵y＝﹣x2+x+2，

∴A（﹣1，0），

∵直线y＝kx+2经过A点，

∴k＝2，

∴y＝2x+2，

∵P点的横坐标为t，

∴P（t，﹣t2+t+2），K（t，2t+2），

∴PK＝t2+t，

∴S＝S△AMK﹣S△AMP﹣S△CPK＝﹣﹣＝＝，

∴S＝t2+t（0＜t＜4）；

（3）∵OC＝2，OB＝4，

∴tan∠OBE＝，BC=2，

如图2：过点O作OH⊥BC于点H，

∴OH＝，

∴BH＝=，

∵OE＝，∴EH＝=，

∴BE＝，∴CE＝，

过点E作EG⊥y轴于点G，

∵tan∠CEG＝tan∠OBE＝，

∴CG＝，EG＝，

∴E（﹣，），

∴易得直线OE的解析式y＝﹣2x，

∵直线AC的解析式为y＝2x+2，

∴联立直线OE与直线AC的解析式，解得D（﹣，1），

过点B作x轴的垂线，与过点P、F作的y轴的垂线分别交于Q、T两点，

∵∠FBP＝90°，

∴∠PBQ＝∠BFT，

∵BP＝BF，

∴△PQB≌△BTF（AAS），

∴BT＝PQ＝4﹣t，FT＝BQ＝﹣t2+t+2，

∴F（t2﹣t+2，t﹣4），

设TF交y轴于点I，

∵tan∠OEG＝2＝tan∠OFI，

∴t﹣4＝﹣2（t2﹣t+2），解得t＝2或t＝0（舍），

∴P（2，3），

设直线PD的解析式为y=kx+b，则

，解得，

∴直线PD的解析式为y＝x+．