Question

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与点B、C重合）以AD为一边，在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）当点D在线段BC上运动时，如图：
①若∠BAC=48°，则∠BCE=

 

；
②猜想∠BAC与∠BCE之间的数量关系？并证明你的结论．
（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，（2）②中的结论是否任然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请你给出正确的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE；
（2）①△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据三角形的内角和可得出结论；
②方法同（1）；
（3）结论不成立，当点D在射线BC的反向延长线上时，∠BAC=∠BCE，画出图形正的答案即可．

解答： （1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：①∵△ABD≌△ACE，∠BAC=48°，
∴∠B=∠ACE．
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BAC=∠BCE+∠BCA=180°，
则∠BCE=132°；
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°；
（3）不成立．
当点D在射线BC的反向延长线上时，∠BAC=∠BCE．

理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．

点评：本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．