Question

【题目】将一副直角三角板(，)按图1方式摆放(即与重合、与共线).

(1)如图2，当绕点旋转至时，求的度数：

(2)若绕点以每秒的速度顺时针旋转，回到起始位置停止，设旋转时间为t，当t为何值时，(与始终不共线)；

(3)若绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当回到起始位置时全都停止旋转.设旋转时间为t，在运动过程中，当t为何值时，的边所在直线恰好平分？试直接写出t值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=15秒或51秒；（3）t=3秒或9秒或15秒.

【解析】

（1）可证得,由可求出,于是可解；

（2）分两种情况讨论：在AC的右侧时；在AC的左侧时.分别画出图形，根据图形求出旋转的角度，即可求出时间t；

（3）时间的范围是是0≤t≤18.如果把看作是静止的，那么将绕点以每秒的速度顺时针旋转.AB边在旋转过程中不可能平分，所以可分四种情况讨论：

① AC边旋转至CP后平分；② AC边旋转至CP后，PC的延长线平分；③ BC边旋转至CP后平分；④BC边旋转至CP后，PC的延长线平分.每种情况画出相应的图形，根据图形求出旋转的角度，即可求出时间t.

解：（1）由题意可知，

∴，

∴,

∵,

∴,

∴；

（2）分两种情况讨论：

如图3，作，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴（秒）；

如图4，与AB交于点G，

∵，

∴，

∴，

∴旋转的角度=，

∴（秒）；

综上所述，当t=15秒或51秒时，；

（3）∵当回到起始位置时全都停止旋转,

∴0≤t≤18,

∵绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，也绕点以每秒的速度顺时针旋转，

∴如果把看作是静止的，那么将绕点以每秒的速度顺时针旋转，

AB边在旋转过程中不可能平分，下面分四种情况讨论：

①如图5，AC边旋转至CP后平分，

∴，

∴（秒）；

②如图6，AC边旋转至CP后，PC的延长线平分，

∴，

∴旋转的角度=，

∴（秒）；

③如图7，BC边旋转至CP后平分，

∴，

∴旋转的角度=，

∴（秒）；

④如图8，BC边旋转至CP后，PC的延长线平分，

∴，

∴旋转的角度=，

∴（秒）(不合题意，舍去)；

综上所述，当t=3秒或9秒或15秒时，的边所在直线恰好平分.