Question

设p,q都是实数，且．我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．

（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式；

（3）若实数c，d满足，且，当二次函数是闭区间上的“闭函数”时，求c，d的值．

 

Answer 1

（1）是，理由见解析；（2）或；（3），.

【解析】

试题分析：（1）根据反比例函数的单调区间进行判断.

（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组或，通过解该方程组即可求得系数k、b的值.

（3）由于函数的图象开口向上，且对称轴为，顶点为，由题意根据图象，分和两种情况讨论即可.　

试题解析：（1）是. 由函数的图象可知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减少，而当时，；时，，故也有，

所以，函数是闭区间上的“闭函数”．

（2）因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：

①当时，，解之得．

∴一次函数的解析式为．

②当时，，解之得．

∴一次函数的解析式为．

故一次函数的解析式为或．

（3）由于函数的图象开口向上，且对称轴为，顶点为，由题意根据图象，分以下两种情况讨论：

①当时，必有时，且时，，

即方程必有两个不等实数根，解得．

而0，6分布在2的两边，这与矛盾，舍去；

②当时，必有函数值y的最小值为，

由于此二次函数是闭区间上的“闭函数”，故必有，从而有.

而当时，，即得点；

又点关于对称轴的对称点为，

由“闭函数”的定义可知必有时，，即 ，解得．

故可得，符合题意．

综上所述，，为所求的实数．

考点：1.新定义；2.反比例函数、一次函数和二次函数的性质；3.解二元方程组；4.分类思想的应用.