Question

如图1，等腰直角△ACO在平面直角坐标系中，C的坐标为（-1，3）．
（1）求A的坐标．
（2）如图2过A点作AE⊥AC，点F在AC上，若∠FEO=∠COE，求∠EOF的度数．
（3）如图3过点C作CN⊥y轴于点N，M为AO的中点，连CM，连MN，求MN的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）过C作BD∥x轴，过A作BD垂线交BD于点B，易证△ABC≌△COD，可得点A的坐标；
（2）求直线FE和直线AC解析式即可求得点F的坐标，即可求得直线OF的解析式，即可求得∠EOF的度数；
（3）根据题意可以求出点N，M坐标，即可求得MN的长度．

解答：解：（1）如图1，过C作BD∥x轴，过A作BD垂线交BD于点B，

∵∠BCA+∠BAC=90°，∠DCO+∠BCA=90°，
∴∠BAC=∠DCO，
∵等腰直角△ACO中AC=CO．
在△ABC和△COD中，

∠ABC=∠ODC=90° ∠BAC=∠DCO AC=CO

，
∴△ABC≌△COD，（AAS）
∴BC=OD，AB=CD，
∴点A的坐标为（-4，2）．
（2）如图2，

∵A（-4，2），AM∥CO，直线CO解析式为：y=-3x，
推出直线AE：y=-3x-10，点E坐标（-

10

3

，0）；
∵∠FEO=∠COE，
∴直线FE解析式为y=3x+10，
直线AC解析式为y=

1

3

x+

10

3

，
∴交点F（-

5

2

，

5

2

）
∴直线OF解析式为y=-x，
∴tan∠EOF=1，
∴∠EOF=45°．
（3）∵点A的坐标为（-4，2），M为AO的中点，
∴M点坐标为（-2，1），
∵CN⊥y轴，
∴N点坐标为（0，3），
∴MN=

22+22

=2

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了平面直角坐标系中点与点的距离的计算．