Question

已知关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²+1=0有实数根x₁、x₂，且x₁²+x₂²=17，求k的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：

分析：依据根与系数关系，表示出两根的和与两根的积，依据x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，即可得到关于k的方程，即可求得k的值．

解答：解：∵关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²+1=0有实数根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-（2k-1），x₁x₂=k²+1，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=17，
∴[-（2k-1）]²-2（k²+1）=17，
解得：k₁=1+

10

，k₂=1-

10

，
又∵方程x²+（2k-1）x+k²+1=0有两个实数根，
∴△=（2k-1）²-4（k²+1）≥0，
∴k≤-

3

4

∴k₁=1+

10

不合题意，舍去；
故符合条件的k的值为1-

10

．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．注意满足根与系数的关系定理的前提条件是判别式△≥0．