【题目】已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)若方程的两根恰好是一个矩形的两边长,且k=4,求该矩形的周长.
【答案】
(1)解:∵关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,
∴△>0,
∴[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+1)>0,
解得k> .
则k的取值范围是k> ;
(2)解:当k=4时,原方程可化为x2﹣9x+17=0,
设方程的两根是x1、x2,则矩形两邻边的长是x1、x2,
∵x1+x2=9,
∴该矩形的周长为2(x1+x2)=18.
【解析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系,方程有两个不相等的实数根,则△>0,建立不等式,求出解集即可。
(2)将k的值代入方程,由于方程的两根恰好是一个矩形的两边长,要求该矩形的周长,只需求出此方程的两根之和,即可求得矩形的周长。
【考点精析】关于本题考查的求根公式和根与系数的关系,需要了解根的判别式△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:1、当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时,一元二次方程没有实数根;一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定;两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案.
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【题目】如图,梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐标分别为(14,0)、(14,3)、(4,3).点P、Q同时从原点出发,分别作匀速运动,点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动,点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动.当这两点中有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.
(1)设从出发起运动了x秒,且x>2.5时,Q点的坐标;
(2)当x等于多少时,四边形OPQC为平行四边形?
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【题目】把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法.
如:①用配方法分解因式:a2+6a+8,
解:原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2-12=
②M=a2-2a-1,利用配方法求M的最小值.
解:
∵(a-b)2≥0,∴当a=1时,M有最小值-2.
请根据上述材料解决下列问题:
(1)用配方法因式分解:.
(2)若,求M的最小值.
(3)已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0,求x+y+z的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,,,过点画轴的垂线,点在线段上,连结并延长交直线于点,过点画交直线于点.
(1)求的度数,并直接写出直线的解析式;
(2)若点的横坐标为2,求的长;
(3)当时,求点的坐标.
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【题目】若二次函数y=﹣x2+4x+c的图象经过A(1,y1),B(﹣1,y2),C(2+ ,y3)三点,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3
B.y1<y3<y2
C.y2<y3<y1
D.y2<y1<y3
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【题目】我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论.
(发现与证明)在ABCD中,AB≠BC,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,连结B′D.
(1)填空:B′E DE(填“<,=,>”);
(2)求证:B′D∥AC;
(应用与探究)
(3)在ABCD中,已知:BC=4,∠B=60°,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,连结B′D.若以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形,求AC的长.
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