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【题目】已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)若方程的两根恰好是一个矩形的两边长,且k=4,求该矩形的周长.

【答案】
(1)解:∵关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,

∴△>0,

∴[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+1)>0,

解得k>

则k的取值范围是k>


(2)解:当k=4时,原方程可化为x2﹣9x+17=0,

设方程的两根是x1、x2,则矩形两邻边的长是x1、x2

∵x1+x2=9,

∴该矩形的周长为2(x1+x2)=18.


【解析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系,方程有两个不相等的实数根,则△>0,建立不等式,求出解集即可。
(2)将k的值代入方程,由于方程的两根恰好是一个矩形的两边长,要求该矩形的周长,只需求出此方程的两根之和,即可求得矩形的周长。
【考点精析】关于本题考查的求根公式和根与系数的关系,需要了解根的判别式△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:1、当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时,一元二次方程没有实数根;一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定;两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案.

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