Question

周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S₃、S₄、S₆之间的大小关系是

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：先根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据正三角形、正方形、正六边形的周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可．

解答：解：设正六边形的边长为a，如图所示，
则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为

3a

2

．
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

(2a)2-a2

=

3

a，
∴S₃=S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×2a×

3

a=

3

a²≈1.73a²．
如图（2），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=

3a

2

，
∴S₄=S_□ABCD=AB²=

3a

2

×

3a

2

=

9

4

a²≈2.25a²．
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=

360°

6

=60°，
∴∠BOG=30°，OG=

BG

tan30°

=

a 2

3 3

=

3

2

a．
∴S_△BOC=

1

2

×

3

2

a×a=

3

4

a²，
∴S₆=6S_△BOC=6×

3

4

a=

3 3

2

a²≈2.59a²．
∵2.59a²＞2.25a²＞1.73a²．
∴S₆＞S₄＞S₃．
故答案为：S₆＞S₄＞S₃．

点评：此题主要考查了正多边形和圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据正三角形、正方形、正六边形的周长都相等设出其边长，求出其边长之间的关系，最后再分别求出其面积进行比较即可．