Question

12．已知a，b，c且2a+b+c=5，b-c=1，则ab+bc+ca的最大值为6．

Answer 1

分析 由b-c=1得b=c+1，再由2a+b+c=5，将b=c+1代入得a+c=2，所以a=2-c，将a和b用c代入ab+bc+ca，化简得-c²+4c+2图形是一条开口向下的抛物线，所以有最大值，化简得-（c-2）²+6，所以当c为2时原式有最大值为6．

解答 解：∵b-c=1，
∴b=c+1，
∵2a+b+c=5，
∴将b=c+1代入得a+c=2，
∴a=2-c，
将a和b用c代入ab+bc+ca，化简得-c²+4c+2，
-c²+4c+2=-（c-2）²+6，
∴当c=2时原式有最大值为6．
故答案为：6．

点评 考查了二次函数的最值，本题关键是得到b=c+1，a=2-c，从而得到ab+bc+ca=-（c-2）²+6．