Question

20．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且BE=DF，连接EF；作CH⊥EF，连接CE、BH，若BH=8，EF=4$\sqrt{10}$，则正方形ABCD的边长是（　　）

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 5$\sqrt{5}$
• D． 6$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 连接AH，AC，CF，BH与AC交于M，推出△BCE≌△CDF，由全等三角形的性质得到CE=CF，∠BCE=∠DCF，求得∠ECF=90°，根据直角三角形的性质得到CH=EH=HF=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{10}$，证得BH垂直平分AC，得到AM=BM=CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，设BC=x，根据勾股定理得到HM=$\sqrt{C{H}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{40-\frac{1}{2}{x}^{2}}$，列方程即可得到结论．

解答 解：连接AH，AC，CF，BH与AC交于M，
∵在正方形ABCD中，BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°∴∠CDF=90°，
在△BCE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠ABBC=∠CDF=90°}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠ECF=90°，
∴CH=EH=HF=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{10}$，
∴AH=$\frac{1}{2}$EF，
∴AH=CH，
∵AB=BC，
∴BH垂直平分AC，
∴AM=BM=CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
设BC=x，
∴BM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
HM=$\sqrt{C{H}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{40-\frac{1}{2}{x}^{2}}$，
∵BH=8，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{40-\frac{1}{2}{x}^{2}}$=8，
∴x=6$\sqrt{2}$或x=2$\sqrt{2}$（不合题意舍去），
∴BC=6$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD的边长是6$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．