Question

8．如图，⊙O中，AB，AC是弦，点M是$\widehat{CAB}$的中点，MP⊥AB，垂足为P，若AC=1，AP=2，则PB的长为4．

Answer 1

分析 首先证明△DEB、△AEC是等腰三角形，得到AE=AC=1，PE=PB=3，即可解决问题．

解答 解：如图，延长MP交⊙O于D，连接DB、DC，延长DC、BA交于点E，
∵$\widehat{CM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠CDM=∠BDM，
∵PM⊥AB，
∴∠DPE=∠DPB=90°，
在△DPE和△DPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPE=∠DPB}\\{DP=DP}\\{∠EDP=∠BDP}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△DPB，
∴DE=DB，EP=PB，
∴∠E=∠B，
∵∠ECA=∠B，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=1，
∵PA=2，
∴PE=PB=AE+PA=3，
∴AB=PB+PA=3+1=4．
故答案为4．

点评 本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用等腰三角形的性质是解决问题的关键，属于中考常考题型．