Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx经过点A(4，0)，点B是其顶点，∠AOB＝45°，OC⊥OB交此抛物线于点C，动直线y＝kx与抛物线交于点D，分别过点B、C作BE、CF垂直动直线y＝kx于点E、F．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当直线y＝kx把∠AOC分成的两个角的度数之比恰好为1：2时，求k的值；

(3)BE+CF是否存在最大值？若存在，请直接写出此最大值和此时k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝；(2)k=或k=2-；(3)存在，BE+CF＝4，此时k=-2.

【解析】

(1)过点B作BH⊥x轴于点H，求出点B的坐标，用待定系数法可求出解析式；

(2)先求出点C的坐标，分两种情况：∴①当∠AOD＝30°时，过点D作DP⊥x轴于点P，可求出k的值；②当∠COD＝30°时，如图，设CQ与OF的交点为K，过点D作DP⊥x轴于点P，过点K作KN⊥OC于N，证明△ADP∽△AKQ，求出CN、CK、KQ的长，则k的值可求出；

(3)连接BC，由垂线段最短可知BE+CF≤BC，当且仅当直线y＝kx与BC垂直，即点E、F重合时，BE+CF＝BC，此时BE+CF取得最大值，可求出最大值和k的值．

解：(1)∵A(4，0)，

∴OA＝4，

过点B作BH⊥x轴于点H，如图1，

∴∠OHB＝90°，OH＝AH＝2，

∵∠AOB＝45°，

∴∠OBH＝∠AOB＝45°，

∴OH＝BH＝2，

∴点B的坐标为(2，﹣2)，

∴ ，

解得， ，

∴此抛物线的解析式为y＝；

(2)如图2，过点C作CQ⊥x轴于点Q，

∵OC⊥OB，∠AOB＝45°，

∴∠COA＝∠AOB＝45°，

∴CQ＝OQ，

∴=x，解得，x1＝0，x2＝6，

∴点C的坐标为(6，6)，

∵直线y＝kx把∠AOC分成的两个角的度数之比恰好为1：2，

∴①当∠AOD＝30°时，过点D作DP⊥x轴于点P，

k＝=tan30°=，

②当∠COD＝30°时，如图3，设CQ与OF的交点为K，过点D作DP⊥x轴于点P，过点K作KN⊥OC于N，

∴DP∥CQ，∠CNK＝∠ONK＝90°，

∴ ，

∴k＝ ，

又∵∠OCQ＝45°，

∴CN＝KN，CK＝，

∴OC＝ON+NC＝(+1)CN，

∵∠BOC＝90°，点B、C的坐标分别为(2，﹣2)，(6，6)∠COF＝∠AOB＝45°，

∴OB＝ ，OC＝，

∴ ，

∴CN＝3 ，

∴ ，

∴KQ＝CQ﹣CK＝6﹣(6-6)＝12﹣6，

∴k＝==2-，

(3)如图4，连接BC，由垂线段最短可知BE+CF≤BC，

当且仅当直线y＝kx与BC垂直，即点E、F重合时，BE+CF＝BC，此时BE+CF取得最大值，

∴BE+CF＝=4，

D点的坐标为(3，﹣1.5)．

k＝﹣2．