Question

【题目】如图，直线y＝x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N．

（1）填空：点B的坐标为　 　，抛物线的解析式为　 　；

（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），

①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；

（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）（0，﹣3），y＝x2﹣x﹣3；（2）①是3，②3或；（3）6或6+6或6﹣6．

【解析】

(1)把点A的坐标代入直线表达式y＝x+a，求出a=-3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求值.

(2) ①点P（m，m﹣3），点N（m，m2﹣m﹣3，求出PN值的表达式，即可求解，

②分∠BNP＝90°，∠NBP＝90°，∠BPN＝90°三种情况，分别求解.

(3)若抛物线上只有三个点N到直线AD的距离是h,则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可.

解：（1）把点A坐标代入直线表达式y＝x+a，

解得：a＝﹣3，则：直线表达式为：y═x﹣3，令x＝0，则：y＝﹣3，

则点B坐标为（0，﹣3），

将点B的坐标代入二次函数表达式得：c＝﹣3，

把点A的坐标代入二次函数表达式得：×16+4b﹣3＝0，

解得：b＝﹣，

故抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，

（2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，

∴点P（m，m﹣3），N（m，m2﹣m﹣3），

∴PN＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣（m﹣2）2+3，

∵a＝﹣＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当m＝2时，PN有最大值是3，

②当∠BNP＝90°时，点N的纵坐标为﹣3，

把y＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝m2﹣m﹣3，解得：m＝3或0（舍去m＝0），

∴m＝3；

当∠NBP＝90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为﹣1，

设：直线BN的表达式为：y＝﹣x+n，

把点B的坐标代入上式，解得：n＝﹣3，则：直线BN的表达式为：y＝﹣x﹣3，

将上式与抛物线的表达式联立并解得：m＝或0（舍去m＝0），

当∠BPN＝90°时，不合题意舍去，

故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或；

（3）∵OA＝4，OB＝3，

在Rt△AOB中，tanα＝，则：cosα＝，sinα＝，

∵PM∥y轴，

∴∠BPN＝∠ABO＝α，

若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，

则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个．

当过点N的直线与抛物线有一个交点N，

点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），

则：n＝m2﹣m﹣3，过点N作AB的平行线，

则点N所在的直线表达式为：y＝x+b，将点N坐标代入，

解得：过N点直线表达式为：y＝x+（n﹣m），

将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0，

△＝144﹣3×4×（﹣12+3m﹣4n）＝0，

将n＝m2﹣m﹣3代入上式并整理得：m2﹣4m+4＝0，

解得：m＝2，则点N的坐标为（2，﹣），

则：点P坐标为（2，﹣），

则：PN＝3，

∵OB＝3，PN∥OB，

∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，

即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″，

直线ON的表达式为：y＝x，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：

x2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±2，

则点N′、N″的横坐标分别为2+2，2﹣2，

作NH⊥AB交直线AB于点H，

则h＝NH＝NPsinα＝，

作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′＝α，ON′＝＝（2+2），

S四边形OBPN＝BPh＝＝6，

则：S四边形OBP′N′＝S△OP′N′+S△OBP′＝6+，

同理：S四边形OBN″P″＝﹣6，

故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+6或6﹣6．