Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC＝2，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点D，垂足分别为H、G．现有以下结论：①当点E与点B重合时，DH＝1；②GF＋EH＝EF；③AF2＋BE2＝EF2；④DGDH＝2，其中正确结论为（ ）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】试题解析：解：①如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴DB⊥BC，∠DBC=90°，∵DG⊥AC，∴∠DGC=90°=∠ACB=∠DBC，∴DG∥BC，四边形DGCB是矩形，∴DH=DB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=AC=DH，故①正确；

②如果CG=CH或者GCHD是正方形，如图，把△ECH绕点C逆时针旋转90°，得到△MCG，则MC=CE，∠MCG=∠ECH，∵∠ACB=90°，∠ECF=45°，∴∠GCF+∠ECH=45°，∴∠GCF+∠MCG=45°，∴∠MCF=∠FCE=45°，在△MCF和△ECF中，∵MC=EC，∠MCF=∠ECF，CF=CF，∴△MCF≌△ECF，∴MF=EF，∴MG+FG=EF，∴EH+GF=EF．

一般情况下，CG≠CH或者GCHD不是正方形，故②错误；

③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．

将△ACF顺时针旋转90°至△BCK，则CF=CK，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BK=AF；

∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠KCE=∠2．

在△ECF和△ECK中，CF=CK，∠2=∠KCE，CE=CE，∴△ECF≌△ECK（SAS），∴EF=KE．

∵∠5=45°，∴∠BKE=90°，∴KE2=BK2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③正确；

④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴ ，∴AEBF=ACBC=4，由题意知四边形CHDG是矩形，∴DG∥BC，DH=CG， DH∥AC，∴； ，即 ； ，∴DG=AE；DH=BF，∴DGDH=AE×BF=AEBF=ACBC=2，故④正确．

故答案为：①③④．