Question

3．如图，等腰Rt△ABC的直角边AB=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1cm/s的速度作直线运动．已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设点P运动时间为t（s）．
（1）当t=5s时，求线段PQ的长；
（2）当t为何值时，S_△PCQ=$\frac{6}{25}$S_△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P，Q运动时，线段DE的长度是否变化？如果不变，请求出DE的长度；如果变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在RT△PBQ利用勾股定理即可．
（2）根据三角形面积公式列出方程即可求解．
（3）结论不变，作QM⊥AC于M，先证明△AEP≌△QMC得AE=PE=QM=CM，再证明△PDE≌△QDM得DE=DM，由此可以得出DE=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：（1）t=5s时AP=CQ=5，
在RT△PBQ中，∵PB=AB-AP=5，BQ=BC+CQ=15，
∴PQ=$\sqrt{P{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{5}^{2}}$=5$\sqrt{10}$cm．
（2）由题意：$\frac{1}{2}$•t•（10-t）=$\frac{6}{25}$×$\frac{1}{2}$×10×10，
整理得t²-10t+24=0，
解得t=4或6，
则t=4或6时，S_△PCQ=$\frac{6}{25}$S_△ABC．
（3）DE的长度不变，DE=5$\sqrt{2}$，理由如下，
作QM⊥AC于M，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ACB=∠QCM=45°，
∵∠AEP=∠QMC=90°，
∴∠APE=∠A=∠QCM=∠CQM=45°，
∴AE=PE，CM=QM，
在△AEP和△QMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CQM}\\{AP=CQ}\\{∠APE=∠QCM}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△QMC，
∴AE=PE=QM=CM，
在△PDE和△QDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QMD=∠PED}\\{∠PDE=∠QDM}\\{PE=QM}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△QDM，
∴DE=DM=$\frac{1}{2}$EM，
∵AE=CM，
∴AC=EM，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1{0}^{2}+1{0}^{2}}$=5$\sqrt{10}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质三角形的面积等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．