Question

2．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°，OA=3，则阴影部分面积为9$\sqrt{3}$-3π．

Answer 1

分析 根据四边形的内角和为360°，根据切线的性质可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度数，进一步求得∠APB的度数，然后根据阴影部分的面积等于四边形OAPB的面积减去扇形AOB的面积即可求得．

解答 解：∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，
∴∠AOB=180°-2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∴在四边形OAPB中，∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．
连接OP．
根据切线长定理得∠APO=30°，
∴OP=2OA=6，AP=OP•cos30°=3$\sqrt{3}$，∠AOP=60°．
∴四边形的面积=2S_△AOP=2×$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$；扇形的面积是$\frac{120π×{3}^{2}}{360}$=3π，
∴阴影部分的面积是9$\sqrt{3}$-3π．
故答案为9$\sqrt{3}$-3π．

点评 本题考查了切线长定理、切线的性质定理以及30°的直角三角形的性质．关键是熟练运用扇形的面积计算公式，能够把四边形的面积转化为三角形的面积计算．．