Question

2．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB中点，
（1）求证：AC²=AB•AD；
（2）猜想：AD与CE的位置关系是AD∥CE，并证明；
（3）若AD=4，AB=6，求$\frac{AC}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC²=AB•AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得$\frac{AC}{AF}$的值．

解答 解：（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
又∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD．
（2）证明：∵E为AB的中点，∠ACB=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE．
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA．
∴AD∥CE．
故答案为：AD∥CE．
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴CE=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AD=4，
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{AF}{CF}$，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{7}{4}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上中线的性质得到CE=$\frac{1}{2}$AB是解题的关键．