Question

【题目】已知：如图，直线y=﹣ x﹣3与坐标轴交于点A，C，经过点A，C的抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点B（2，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线在第三象限图象上的动点，是否存在点D，使得△DAC的面积最大？若存在，请求这个最大值并求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点D作DE⊥x轴于E，交AC于F，若AC恰好将△ADE的面积分成1：4两部分，请求出此时点D的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）在y=﹣ x﹣3中，当y=0时，x=﹣6，

即点A的坐标为：（﹣6，0），

将A（﹣6，0），B（2，0）代入y=ax2+bx﹣3得：

，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y= x2+x﹣3；

（2）

解：设点D的坐标为：（m， m2+m﹣3），则点F的坐标为：（m，﹣ m﹣3），

∴DF=﹣ m﹣3﹣（ m2+m﹣3）=﹣ m2﹣ m，

∴S△ADC=S△ADF+S△DFC

= DFAE+ DFOE

= DFOA

= ×（﹣ m2﹣ m）×6

=﹣ m2﹣ m

=﹣ （m﹣3）2+ ，

∵a=﹣ ＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当m=3时，S△ADC存在最大值 ，

又∵当m=3时， m2+m﹣3=﹣ ，

∴存在点D（3，﹣ ），使得△ADC的面积最大，最大值为 ；

（3）

解：由题意可得△ADE的面积分成1：4两部分即是点F将DE分成1：4两部分

①当DF：EF=1：4时，（﹣ m2﹣ m）：（ m+3）=1：4，

解得：m1=﹣ ，m2=﹣6（不合题意，舍去），

当m=﹣ 时， m2+m﹣3=﹣ ，

∴点D的坐标为：（﹣ ，﹣ ），

②当DF：EF=4：1时，（﹣ m2﹣ m）：（ m+3）=4：1，

解得：m1=﹣6（不合题意，舍去），m2=﹣8（不合题意，舍去），

综上所述存在点D（﹣ ，﹣ ），使得AC恰好将△ADE的面积分成1：4两部分．

【解析】解：（1）在y=﹣ x﹣3中，当y=0时，x=﹣6，即点A的坐标为：（﹣6，0），将A（﹣6，0），B（2，0）代入y=ax2+bx﹣3得： ，
解得： ，∴抛物线的解析式为：y= x2+x﹣3；（2）设点D的坐标为：（m， m2+m﹣3），则点F的坐标为：（m，﹣ m﹣3），∴DF=﹣ m﹣3﹣（ m2+m﹣3）=﹣ m2﹣ m，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC= DFAE+ DFOE= DFOA= ×（﹣ m2﹣ m）×6=﹣ m2﹣ m=﹣ （m﹣3）2+ ，∵a=﹣ ＜0，∴抛物线开口向下，∴当m=3时，S△ADC存在最大值 ，又∵当m=3时， m2+m﹣3=﹣ ，∴存在点D（3，﹣ ），使得△ADC的面积最大，最大值为 ；（3）由题意可得△ADE的面积分成1：4两部分即是点F将DE分成1：4两部分①当DF：EF=1：4时，（﹣ m2﹣ m）：（ m+3）=1：4，解得：m1=﹣ ，m2=﹣6（不合题意，舍去），当m=﹣ 时， m2+m﹣3=﹣ ，∴点D的坐标为：（﹣ ，﹣ ），②当DF：EF=4：1时，（﹣ m2﹣ m）：（ m+3）=4：1，解得：m1=﹣6（不合题意，舍去），m2=﹣8（不合题意，舍去），综上所述存在点D（﹣ ，﹣ ），使得AC恰好将△ADE的面积分成1：4两部分．

【考点精析】利用二次函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．