Question

【题目】如图，以AB为直径的⊙O经过点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，D是⊙O上于点，且 = ，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接AC．
（1）求∠E的度数；
（2）若⊙O的直径为5，sinP= ，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵BC=CD，

∴∠OAC=∠CAD．

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC∥AE．

∴∠E=∠OCP．

∵PE是的切线，C为切点，

∴∠OCP=90°．

∴∠E=90°

（2）解：在Rt△ABD中，OC=2.5，sin∠P= = ，

∴OP= ，

在Rt△APE中，AP= +2.5= ，sin∠P= = ，

∴AE=4．

【解析】（1）连接OC．根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA．∠OAC=∠CAD．推出OC∥AE．根据平行线的性质得到∠E=∠OCP．根据切线的性质即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．
【考点精析】利用切线的性质定理和解直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．