Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
（1）用尺规作图的方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M（不写作法，只保留作图痕迹）；
（2）若AB=2，求EM的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，DM即为所求；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=AB=2，∠ABC=∠ACB=60°，

∵点D是AC的中点，

∴CD= AC= ×2=1，∠CBD= ∠ABC= ×60°=30°．

∵CD=CE=1，

∴∠CDE=∠E，BE=3，

∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，

∴∠CDE=∠E=30°．

∴DB=DE．

∵DM⊥BE，

∴ME= BE= ×3= ．

【解析】（1）根据垂线的尺规作图方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M；（2）先根据等边三角形以及等腰三角形的性质，求得BE=3，再根据等腰三角形三线合一，即可得出BE的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．