Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA= ，点D是边AC上一点，连接BD，并将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在边AB上的点E处，过点D作DF⊥BD，交AB于点F．

（1）求证：∠ADF=∠EDF；
（2）探究线段AD，AF，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若EF=1，求BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵DF⊥DB，

∴∠BDF=90°，

∴∠ADF+∠BDC=∠EDF+∠BDE=90°，

由折叠性质得：∠BDE=∠BDC，

∴∠ADF=∠EDF；

（2）

解：AD，AF，AB之间的数量关系为AD2=AFAB，理由如下：

由折叠性质得：∠DEF=∠BDF=∠C=90°，

∴∠EDF+∠DFE=∠ABD+∠DFE=90°，

∴∠EDF=∠ABD，

∴∠ADF=∠DBA，

∵∠A=∠A，

∴△ADF∽△ABD，

∴AF：AD=AD：AB，

∴AD2=AFAB；

（3）

解：在Rt△ADE中，tanA=DE：AE= ：1，

设AE=x，则DE= x，

由勾股定理得：AD= = = x，

∵∠ABD=∠EDF，∠AED=∠DEF，

∴△BDE∽△DFE，

∴DE：EF=BE：DE，即DE2=EFEB，

∴（ x）2=1×BE，即BE=2x2，

由（2）知AD2=AFAB，

∴（ x）2=（AE﹣EF）（AE+BE）=（x﹣1）×（x+2x2），

即3x2=（x﹣1）×（x+2x2），

解得：x=1+ ，x=1﹣ （不合题意舍去），

∴BE=2x2=2（1+ ）2=5+2 ，

由折叠可知，BC=BE=5+2 ．

【解析】（1）由已知可得∠ADF+∠BDC=∠EDF+∠BDE=90°，再由折叠的性质得∠BDE=∠BDC，即可得出结论；（2）由折叠的性质与已知得∠DEF=∠BDF=∠C=90°，推出∠EDF+∠DFE=∠ABD+∠DFE=90°，得出∠EDF=∠ABD，∠ADF=∠DBA，证得△ADF∽△ABD，对应边成比例即可得出结果；（3）在Rt△ADE中，tanA=DE：AE= ：1，设AE=x，则DE= x，由勾股定理可解得AD= x，证得△BDE∽△DFE，得出DE2=EFEB，解得BE=2x2 ， 再由（2）知AD2=AFAB，即（ x）2=（AE﹣EF）（AE+BE）=（x﹣1）×（x+2x2），解得x的值，即可得出结果．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和翻折变换（折叠问题）是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．