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【题目】如图,RtABC中,∠ABC=900,AC=2BC=,点O在边AB上,以点O为圆心,,OB的长为半径的圆恰好与AC相切于D,与边AB相交于点E.

(1)求证:点DAC的中点;

(2)若点F为半圆BEF上的动点,连接BD、BF、DF,填空:

当∠BDF= 时,四边形BCDF为菱形;

BDF为直角三角形时,BF= .

【答案】(1)证明见解析;(2)①60°;②2或1.

【解析】分析:(1)连接OD,只要证明BCD是等边三角形,△ABD是等腰三角形即可证得结论;

(2)①当DFAB时,四边形BCDF是菱形,因为∠BDC=60°, ADF=60°,可求出∠BOF的度数

分别从BDF=90°,∠DBF=90°,∠BFD=90°去分析求解即可求得答案.

详解:

BC=CD,

∴△BCD是等边三角形,

BC=CD=BD.

如图,连接

,

∴∠OBD=∠ODB=30°,

∴∠OBD=∠A,

BD=AD,

CD=AD,

即点DAC的中点;

(2)①当DFAB时,四边形BCDF是菱形;

如图,设DFAB于点M,则DF=2DM

∵∠A=30°

AD=2DM

DF=AD=BC

∵∠ABC=90°

DFBC

∴四边形BCDF是平行四边形,

BC=CD

∴四边形BCDF是菱形;

∵∠A=30°

∴∠ADM=90°-30°=60°,

∴∠BDF=180°-60°-60°=60°,

BDF=90°,则点E与点F重合,

AC=2BC=

BD=

BF=

若∠DBF=90°,则DF是直径,

∴BF=;

若∠BFD=90°

AD不是直径,

∴∠AED90°

综上可得:当BDF为直角三角形时,BF等于21

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