【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=900,AC=2BC=,点O在边AB上,以点O为圆心,,OB的长为半径的圆恰好与AC相切于D,与边AB相交于点E.
(1)求证:点D为AC的中点;
(2)若点F为半圆BEF上的动点,连接BD、BF、DF,填空:
当∠BDF= 时,四边形BCDF为菱形;
当△BDF为直角三角形时,BF= .
【答案】(1)证明见解析;(2)①60°;②2或1.
【解析】分析:(1)连接OD,只要证明△BCD是等边三角形,△ABD是等腰三角形即可证得结论;
(2)①当DF⊥AB时,四边形BCDF是菱形,因为∠BDC=60°, ∠ADF=60°,可求出∠BOF的度数;
②分别从∠BDF=90°,∠DBF=90°,∠BFD=90°去分析求解,即可求得答案.
详解:,
,
∵BC=CD,
∴△BCD是等边三角形,
∴BC=CD=BD.
如图,连接,
,
,
,
∴∠OBD=∠ODB=30°,
∴∠OBD=∠A,
∴BD=AD,
∴CD=AD,
即点D为AC的中点;
(2)①当DF⊥AB时,四边形BCDF是菱形;
如图,设DF交AB于点M,则DF=2DM,
∵∠A=30°,
∴AD=2DM,
∴DF=AD=BC,
∵∠ABC=90°,
∴DF∥BC,
∴四边形BCDF是平行四边形,
∵BC=CD,
∴四边形BCDF是菱形;
∵∠A=30°,
∴∠ADM=90°-30°=60°,
∴∠BDF=180°-60°-60°=60°,
②若∠BDF=90°,则点E与点F重合,
∵AC=2BC=,
∴BD=,
∴BF=;
若∠DBF=90°,则DF是直径,
∴BF=;
若∠BFD=90°,
∵AD不是直径,
∴∠AED≠90°;
综上可得:当△BDF为直角三角形时,BF等于2或1.
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【题目】某校八年级全体同学参加了某项捐款活动,随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示.
(1)本次共抽查学生 人,并将条形图补充完整;
(2)捐款金额的众数是 平均数是 中位数为
(3)在八年级600名学生中,捐款20元及以上(含20元)的学生估计有多少人?
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【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,Rt△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(﹣4,2),C(0,2).
(1)画△A1B1C1,使它与△ABC关于点C成中心对称;
(2)平移△ABC,使点A的对应点A2坐标为(﹣2,4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(3)若将△A1B1C1绕点P旋转可得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心P的坐标.
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【题目】如图,为美化环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.
(1)用含a的式子表示花圃的面积;
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的,求出此时通道的宽.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上,点B坐标为(1,0),AC=2,∠ABC=30°,把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°,然后再向下平移2个单位,则A点的对应点A′的坐标为( )
A. (﹣4,﹣2﹣) B. (﹣4,﹣2+) C. (﹣2,﹣2+) D. (﹣2,﹣2﹣)
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【题目】李明准备进行如下操作实验,把一根长40 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,李明应该怎么剪这根铁丝?
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2,你认为他的说法正确吗?请说明理由.
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【题目】某玩具店将进货价为元的玩具以元的销售价售出,平均每月能售出个市场调研表明:当销售价每涨价元时,其销售量将减少2个.
(1)设每个玩具的销售价上涨元,试用含的式子填空:
①涨价后,每个玩具的销售价为 元;
②涨价后,每个玩具的利润为 元;
③涨价后,玩具的月销售量为 个.
(2)玩具店老板要想让该玩具的销售利润平均每月达到1600元,销售员甲说:“在原售价每个90元的基础上再上涨30元,可以完成任务”销售员乙说:“不用涨那么多,在原售价每个90元的基础上再上涨10元就可以了”判断销售员甲与销售员乙的说法是否正确,并说明理由.
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【题目】已知反比例函数y=(k常数,k≠1).
(1)若点A(2,1)在这个函数的图象上,求k的值;
(2)若k=9,试判断点B(﹣,﹣16)是否在这个函数的图象上,并说明理由.
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【题目】为丰富居民业余生活,某居民区组建筹委会,该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算,一共需要筹资30 000元,其中一部分用于购买书桌、书架等设施,另一部分用于购买书刊.
(1)筹委会计划,购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍,问最多用多少资金购买书桌、书架等设施?
(2)经初步统计,有200户居民自愿参与集资,那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后,赠送了一批阅览室设施和书籍,这样,只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传,自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中).则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了%,求a的值.
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